벡터 내적 구하기

소개

두 벡터가 다음과 같고,

$$\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots), \overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3, \cdots)$$

두 벡터 사이의 각을 \(\theta\)라 하면

<첫 번째 방법>

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \cdots$$

<두 번째 방법>

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$$

증명

그럼 왜 두 다른 방법을 써도 같은 결과가 나오는지를 증명해 보겠습니다.

위와 동일한 상황으로 진행해 보겠습니다.

먼저 두 벡터를 이동시켜 시점이 일치하도록 하겠습니다. 그러면 삼각형이 만들어질 텐데요. 다음과 같이 될 수 있습니다.

그럼 위 그림을 바탕으로 코사인법칙을 활용하겠습니다.

$$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta \cdots (1)$$

먼저 \(|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2\)를 계산해 보겠습니다.

• 풀어서 쓰면 다음과 같습니다.

$$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$$

• 그런데 교환 법칙과 분배 법칙이 성립하므로 우변을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$
|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}
\cdots (2)
$$

(2) 식을 (1) 식에 적용하면

$$
|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =
|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta
$$

$$
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta
$$