벡터 내적 구하기

소개

두 벡터가 다음과 같고,

$$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3,\cdots ),\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3,\cdots )$$

두 벡터 사이의 각을 $\theta$라 하면

<첫 번째 방법>

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+\cdots$$

<두 번째 방법>

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$$

증명

그럼 왜 두 다른 방법을 써도 같은 결과가 나오는지를 증명해 보겠습니다.

위와 동일한 상황으로 진행해 보겠습니다.

먼저 두 벡터를 이동시켜 시점이 일치하도록 하겠습니다. 그러면 삼각형이 만들어질 텐데요. 다음과 같이 될 수 있습니다.

그럼 위 그림을 바탕으로 코사인법칙을 활용하겠습니다.

$$|\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta \cdots (1)$$

먼저 $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2$를 계산해 보겠습니다.

• 풀어서 쓰면 다음과 같습니다.

$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$$

• 그런데 교환 법칙과 분배 법칙이 성립하므로 우변을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\cdots (2)$$

(2) 식을 (1) 식에 적용하면

$$|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$$

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$$