이상 기체의 몰비열

기체의 경우 같은 열을 가하더라도 부피가 얼마큼 변하느냐에 따라 온도가 올라가는 정도가 달라집니다. 그래서 한 변수를 고정시킨 후 몰비열을 구해야 합니다. 여기서는 이상 기체의 경우 부피를 고정시킨 등적 몰비열과 압력을 고정시킨 등압 몰비열을 어떻게 구할 수 있는지 알아보겠습니다.

등적 몰비열

등적 몰비열을 \(C_V\)라 하면

$$Q=nC_V\Delta T \cdots (1)$$

$$C_V=\frac{Q}{n \cdot \Delta T}$$

근데 기체의 원자의 개수를 알면 \(Q\)와 \(\Delta T\)를 모르고도 비열을 구할 수 있습니다. 예를 들어 단원자 기체의 경우 비열을 구하는 과정은 다음과 같습니다.

등적 과정이므로

$$\Delta E_{int}=Q+W$$

$$W=0$$

$$\Delta E_{int}=Q \cdots (2)$$

식 (1)을 식 (2)에 대입하면

$$\Delta E_{int}=nC_V\Delta T$$

이를 \(C_V\)에 대해 정리하면

$$
C_V=\frac{1}{n} \frac{dE_{int}}{dT} \cdots (3)
$$

한편 단원자 기체라면 병진 운동 에너지만 존재하므로

$$E_{int}=K_{tot \space trans}=\frac{3}{2}nRT \cdots (4)$$

식 (4)를 식 (3)에 대입하면

$$C_V=\frac{3}{2}R=12.5J/mol \cdot K$$

등압 몰비열

등압 몰비열을 \(C_P\)라 하면

$$Q=nC_P \Delta T$$

$$C_P=\frac{Q}{n \cdot \Delta T}$$

등적 몰비열과 등압 몰비열의 관계

등적 몰비열 측면

위에서 언급한 바에 따르면

$$\Delta E_{int}=nC_V \Delta T$$

등압 몰비열 측면

$$\Delta E_{int}=Q+W=nC_P \Delta T+(-P\Delta V) \cdots (1)$$

이상 기체이므로

$$PV=nRT$$

압력이 일정하므로

$$PV_i=nRT_i$$

$$PV_f=nRT_f$$

$$PV_f-PV_i=nRT_f-nRT_i$$

$$P\Delta V=nR \Delta T \cdots (2)$$

(2)를 (1)에 대입하면

$$\Delta E_{int}=nC_P \Delta T-nR \Delta T$$

합치기

등적 과정이나 등압 과정이나 온도 변화가 같으면 내부 에너지 변화는 동일하므로

$$\Delta E_{int}=nC_V \Delta T=nC_P \Delta T-nR \Delta T$$

위 식을 정리하면

$$C_V=C_P-R$$

즉, 등적 몰비열은 등압 몰비열에서 \(R\)을 뺀 값입니다.